已知数列{an}满足3a(n+1)+an=4(n属于自然数)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/12 11:24:51
已知数列{an}满足3a(n+1)+an=4(n属于自然数),且a1=9,其前n项和为Sn,求满足不等式|Sn-n-6|<1/125的最小整数n
an=4-3a(n+1)
an-1=-3(a(n+1)-1)
设bn=an-1
b1=8
bn=8/(-3)^(n-1)
Sbn=Sn-n
Sbn=6(1-(-1/3)^n)
Sbn-6=-6*(-1/3)^n
|Sn-n-6|=6*(1/3)^n
n=7
3a(n+1)+an=4=>[a(n+1)-1]/[an-1]=-1/3
所以数列{an-1}是一个首项为10,公比为-1/3的等比数列
Tn=10[1-(-1/3)^n]/(1+1/3)=[15-15(-1/3)^n]/2
由于Sn=Tn+n
所以Sn-n=Tn
然后再解不等式
an=4-3a(n+1)
an-1=3-3a(n+1)
=-3(a(n+1)-1)
令bn=an-1
bn是等比数列,q=-1/3
b1=a1-1=8
bn=8*(-1/3)^(n-1)
Sn=Sbn+1*n
=8*[1-(-1/3)^n]/[1-(-1/3)]+n
=6[1-(-1/3)^n]+n
|Sn-n-6|<1/125
|6[1-(-1/3)^n]-n+n-6|<1/125
|6(-1/3)^n|<1/125
(1/3)^n<1/750
n>=7
7
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